偏微分方程式(物質)

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
偏微分方程式(物質)
Partial Differential Equations
A600160001 2 2 後期授業 理系基礎科目 FLMAT2916-J1 月2 B3-118 菅 徹

オフィスアワー

月曜日4コマ目(14:35-16:05)

授業目標

様々な物理現象が偏微分方程式を用いて数学的に記述される.中でも1階準線形偏微分方程式,および2階線形偏微分方程式の代表例である熱方程式,波動方程式,ラプラス方程式を扱う.これらの方程式がどのような現象を記述しているかを理解し,方程式に応じた解法を習得することを目的とする.

具体的な到達目標は以下の通りである.
1.1階偏微分方程式の初期値問題が解ける.
2.具体的な関数のフーリエ級数展開を求めることができる.
3.区間上の熱方程式の初期値境界値問題が解け,解の性質を説明できる
4.区間上の波動方程式の初期値境界値問題が解け,解の性質を説明できる.
5.2次元領域上のラプラス方程式の境界値問題が解け,解の性質を説明できる.

教科書

「フーリエ解析と偏微分方程式入門」 壁谷喜継 著 (共立出版)

参考書

「偏微分方程式入門」 金子晃 著 (東京大学出版会)

関連科目

常微分方程式,フーリエ解析

授業時間外の学習(準備学習等について)

次回講義で行う箇所を教科書などで予習し,大まかな内容をあらかじめ把握しておくこと.
授業中に挙げる例題を解き直し,教科書などにある類題を自力で解くことで内容の定着に努めること.具体的な計算を重ねることが理解への近道です.
関連科目である「常微分方程式」の知識は既知として進むため,必要に応じて復習すること.また,並行して開講する「フーリエ解析」の内容を利用するため,同時に受講することを強く勧めます.

授業の概要

特性曲線の方法による1階準線形偏微分方程式の解法,フーリエ解析を用いた熱方程式,波動方程式,ラプラス方程式の解法を知る.そのためにフーリエ級数による関数の展開や常微分方程式の固有値問題の解法についても学ぶ.

授業計画

第1回 講義の概要,1階偏微分方程式の例 準備学習等
第2回 1階偏微分方程式の解法 準備学習等
第3回 フーリエ級数展開 準備学習等
第4回 フーリエ正弦級数,フーリエ余弦級数 準備学習等
第5回 常微分方程式に関する固有値問題 準備学習等
第6回 熱方程式の導出と解の性質 準備学習等
第7回 有界区間上の熱方程式の初期値境界値問題 準備学習等
第8回 実軸上の熱方程式の初期値問題 準備学習等
第9回 波動方程式の導出と解の形 準備学習等
第10回 固定端反射・自由端反射 準備学習等
第11回 実軸上の波動方程式の初期値問題 準備学習等
第12回 有界区間上の波動方程式の初期値境界値問題 準備学習等
第13回 帯領域上のラプラス方程式の境界値問題 準備学習等
第14回 連鎖律 準備学習等
第15回 円板上のラプラス方程式の境界値問題 準備学習等

成績評価

授業目標の1~5の達成度で総合的に評価する.
1~5の基本的な問題ができれば,C(合格)とする.ただし軽微な計算ミスを除く.
成績評価は,期末試験80%,レポート20%で行う.
(ただし成績の評価方法は状況に応じて変更する可能性もある)