線形数学II<2組>(機械)

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
線形数学II<2組>(機械)
Linear Algebra II
A600120002 4 1 後期授業 理系基礎科目 FLMAT1912-J1 火2,木3 B3-205 源 泰幸

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授業目標

ベクトル空間についての様々な概念(1次独立, 基底, 次元, 1次写像, 1次写像の階数, 1次写像の核, 1次写像の表現行列)や, 抽象ベクトル空間における内積と正規直交基底, 直交補空間, 行列の固有値・固有空間・対角化などの概念を習得する。1次独立性の判定, ベクトル空間(1次写像の像・核含む)の基底・次元の計算, 1次写像の表現行列, グラム・シュミットの直交化法による正規直交基底の構成, 行列の固有値・固有空間の計算および対角化などの計算方法の習得と, 計算方法の背後にある数学的原理や理論を理解することを目標とする。
具体的には、以下の能力を身につけることを目標とする。
1. 1次独立・1次従属の概念を理解し,具体的なベクトルの組について1次独立性を判定できる。
2. 基底と次元の定義を理解し,基本的なベクトル空間について基底の例を挙げ,次元を答えることができる。
3. ベクトル空間の部分空間の概念について理解し、具体的に与えられたベクトル空間の部分集合が部分空間になっているかどうか判定できる。
4. 有限個のベクトルで生成される部分空間の基底の求め方を理解し,有限個のベクトルで生成される部分空間の基底と次元を求められる。
5. 斉次連立1次方程式の解空間の基底の求め方を理解し,斉次連立1次方程式の解空間の基底と次元を求められる。
6. 1次写像の像・核の定義とその基底の求め方を理解し,具体的に与えられた1次写像の像や核の基底と次元を求められる。
7. 基底に関する座標の概念を理解し,具体的なベクトルについて,与えられた基底に関する座標を求めることができる。
8. 表現行列の概念を理解し,与えられた基底に関して,1次写像の表現行列を求めることができる。
9. 内積の定義と基本的性質を理解し,内積を含んだ計算を行うことができる。
10. グラム・シュミットの直交化法の手続きと仕組みを理解し,与えられたベクトルの組に対してグラム・シュミットの直交化法を適用し,正規直交系をつくることができる。
11. 直交補空間の定義を理解し,与えられた部分空間の直交補空間を求めることができる。
12. 正射影の定義を理解し,与えられたベクトルの部分空間への正射影を求めることができる。
13. 固有値の概念を理解し,与えられた行列の固有多項式を計算して固有値を求めることができる。
14. 固有空間の概念を理解し,与えられた行列の固有値に対し,固有空間の基底と次元を求めることができる。
15. 対角化の概念を理解し,与えられた行列の対角化可能性を判定でき,対角化を実行できる。
16. 直交行列による対角化の概念を理解し,実対称行列の直交行列による対角化を実行できる。

教科書

石井・川添・高橋・山口著「理工系新課程 線形代数---基礎から応用まで[改訂版]」(培風館) ISBN: 978-4-563-00392-0 (初版とまちがえないように購入してください。)
川添・山口・吉富著「理工系新課程 線形代数演習---解き方の手順と例題解説」(培風館)
ISBN: 978-4-563-00393-7

参考書

なし

関連科目

線形数学I, 微積分学I, II

授業時間外の学習(準備学習等について)

授業の理解には予習・復習が不可欠です. シラバスに毎回の授業内容に対応する教科書の節番号を記載しているので, 予習として教科書の該当部分を読み, 授業で扱うトピックについて大まかなイメージをつかむよう心がけること. さらに, 独力で読んでわからないところを明確にしてくることが望ましい. また, 復習として, 授業でやったところの教科書・ノートを読み返して内容をしっかり理解するよう努めるとともに, 授業中に指定した演習問題(教科書の問, Webドリルなど)を解くこと, を毎回必ず行ってください.
Web上で授業内容に関する問題演習が行えます. 学生ポータルの「学習システム」のメニューから「Web数学学習システム」をクリックすることでシステムにログインできます. 使用方法がわからないときは, 質問受付室に来て尋ねてもらっても結構です.

授業の概要

ベクトル空間における、ベクトルの1次独立性、基底、次元、1次写像とその表現行列、計量ベクトル空間の正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法について講義する。さらに、行列の固有値・固有ベクトル・対角化の概念と対角化可能判定法および対角化の手順について講義する。

授業計画

第1回 行列を掛け算する写像、線形写像 準備学習等 教科書2.4
第2回 線形写像の性質、 準備学習等 教科書2.4
第3回 (標準基底に関する)表現行列 準備学習等 教科書2.4
第4回 後期のイントロ:抽象ベクトル空間の必要性 準備学習等 教科書5.1
第5回 抽象ベクトル空間の定義と例 準備学習等 教科書5.1
第6回 座標(単位と測定値、基底と座標)1次独立と1次従属 準備学習等
第7回 抽象ベクトル空間の部分空間 準備学習等 教科書5.2
第8回 基底と次元. 準備学習等 教科書5.3(p.124, 例5.10まで)
第9回 部分空間の基底と次元 準備学習等 教科書5.3(p.124, 例題5.1から, p.125, 問5.9まで)
第10回 部分空間の和と共通部分. 準備学習等 部分空間の和と共通部分.教科書5.4(p.129, 問5.11まで)
第11回 部分空間の和に関する次元公式.直和 準備学習等 部分空間の和に関する次元公式.教科書5.4(p.129, 定理5.9から最後まで)
第12回 抽象的な線形写像の定義と例. 準備学習等 教科書6.1
第13回 線形写像の像と核. 準備学習等 教科書6.2(p.152, 命題6.8まで)
第14回 線形写像の像と核の基底と次元. 準備学習等 教科書6.2(例題6.1)
第15回 線形写像の像と核に関する次元公式. 準備学習等 教科書6.2(命題6.9, 定理6.10, 命題6.11)
第16回 線形写像の表現行列. 準備学習等 教科書6.3(定義6.6から定理6.15まで)
第17回 基底の変換行列. 対角化のイントロ. 準備学習等 教科書6.3(定義6.7から最後まで) 教科書8.1
第18回 行列の固有値と固有ベクトル. 準備学習等 教科書8.2, 8.3
第19回 固有空間. 演習. 準備学習等 教科書8.4
第20回 対角化可能性判定法 準備学習等 教科書8.4
第21回 対角化可能性判定と対角化 準備学習等 教科書8.4
第22回 ベクトル空間の内積 準備学習等 教科書7.1, 7.2
第23回 直交性. 正射影. 準備学習等 教科書7.1, 7.2
第24回 正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法. 準備学習等 教科書7.3
第25回 グラム・シュミットの直交化法 準備学習等 教科書7.3
第26回 直交変換と直交行列. 準備学習等 教科書7.4
第27回 直交補空間、随伴行列 準備学習等 教科書7.5, 7.6
第28回 正規行列の対角化 準備学習等 教科書8.6
第29回 実対称行列の対角化. 準備学習等 教科書8.6
第30回 試験. 準備学習等

成績評価

最終レポート(あるいは情勢が許せば期末試験)60点、平常点(レポート)40点
C(合格)となるためには、授業目標の項目1、2、4、5、7、8、9、10、11、12、13、14、15のうち11項目以上が達成できること。なお、計算については、数ベクトルについてできればよい。(ただし、軽微のミスは許す。)