線形数学II<再履修>(工学域(再履修))

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
線形数学II<再履修>(工学域(再履修))
Linear Algebra II
A600120008 4 1 後期授業 理系基礎科目 FLMAT1912-J1 月5,火5 B3-207,オンライン(中百舌鳥キャンパス) 嘉田 勝

オフィスアワー

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授業目標

ベクトル空間についての様々な概念(1次独立, 基底, 次元, 1次写像, 1次写像の階数, 1次写像の核, 1次写像の表現行列)や, 抽象ベクトル空間における内積と正規直交基底, 直交補空間, 行列の固有値・固有空間・対角化などの概念を習得する. 1次独立性の判定, ベクトル空間(1次写像の像・核含む)の基底・次元の計算, 1次写像の表現行列, グラム・シュミットの直交化法による正規直交基底の構成, 行列の固有値・固有空間の計算および対角化などの計算方法の習得と, 計算方法の背後にある数学的原理や理論を理解することを目標とする.
具体的には、以下の能力を身につけることを目標とする.
1. 1次独立・1次従属の概念を理解し,具体的なベクトルの組について1次独立性を判定できる。
2. 基底と次元の定義を理解し,基本的なベクトル空間について基底の例を挙げ,次元を答えることができる。
3. ベクトル空間の部分空間の概念について理解し、具体的に与えられたベクトル空間の部分集合が部分空間になっているかどうか判定できる。
4. 有限個のベクトルで生成される部分空間の基底の求め方を理解し,有限個のベクトルで生成される部分空間の基底と次元を求められる。
5. 斉次連立1次方程式の解空間の基底の求め方を理解し,斉次連立1次方程式の解空間の基底と次元を求められる。
6. 1次写像の像・核の定義とその基底の求め方を理解し,具体的に与えられた1次写像の像や核の基底と次元を求められる。
7. 基底に関する座標の概念を理解し,具体的なベクトルについて,与えられた基底に関する座標を求めることができる。
8. 表現行列の概念を理解し,与えられた基底に関して,1次写像の表現行列を求めることができる。
9. 内積の定義と基本的性質を理解し,内積を含んだ計算を行うことができる。
10. グラム・シュミットの直交化法の手続きと仕組みを理解し,与えられたベクトルの組に対してグラム・シュミットの直交化法を適用し,正規直交系をつくることができる。
11. 直交補空間の定義を理解し,与えられた部分空間の直交補空間を求めることができる。
12. 正射影の定義を理解し,与えられたベクトルの部分空間への正射影を求めることができる。
13. 固有値の概念を理解し,与えられた行列の固有多項式を計算して固有値を求めることができる。
14. 固有空間の概念を理解し,与えられた行列の固有値に対し,固有空間の基底と次元を求めることができる。
15. 対角化の概念を理解し,与えられた行列の対角化可能性を判定でき,対角化を実行できる。
16. 直交行列による対角化の概念を理解し,実対称行列の直交行列による対角化を実行できる。

教科書

石井・川添・高橋・山口著「理工系新課程 線形代数---基礎から応用まで[改訂版]」(培風館) ISBN: 978-4-563-00392-0 、川添・山口・吉冨著「理工系新課程 線形代数演習」(培風館) ISBN: 978-4-563-00393-7

参考書

なし

関連科目

線形数学I, 微積分学I, II

授業時間外の学習(準備学習等について)

授業の理解には予習・復習が不可欠です. シラバスに毎回の授業内容に対応する教科書の節番号を記載しているので, 予習として教科書の該当部分を読み, 授業で扱うトピックについて大まかなイメージをつかむよう心がけること. さらに, 独力で読んでわからないところを明確にしてくることが望ましい. また, 復習として, 授業でやったところの教科書・ノートを読み返して内容をしっかり理解するよう努めるとともに, 授業中に指定した演習問題(教科書の問, Webドリルなど)を解くこと, を毎回必ず行ってください.
Web上で授業内容に関する問題演習が行えます. 学生ポータルの「学習システム」のメニューから「Web数学学習システム」をクリックすることでシステムにログインできます.

授業の概要

【対面・非同期オンライン混合授業として行います】(6月11日現在)
原則として、月5を対面授業で、火5をオンライン授業で行います。(臨時に変更する場合は都度通知します)

ベクトル空間における、ベクトルの1次独立性、基底、次元、1次写像とその表現行列、計量ベクトル空間の正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法について講義する。さらに、行列の固有値・固有ベクトル・対角化の概念と対角化可能判定法および対角化の手順について講義する。

授業計画

第1回 【対面】全体のイントロ. ベクトル空間と部分空間. 1次独立と1次従属, 基底と次元. 演習. 準備学習等 5.1, 5.2, 5.3 節.
第2回 【非同期オンライン】ベクトル空間と部分空間, 1次独立, 1次従属, 基底, 次元についての演習. 準備学習等 5.1, 5.2, 5.3 節.
第3回 【対面】生成される部分空間の基底と次元, 解空間の基底と次元. 演習. 準備学習等 5.3 節.
第4回 【非同期オンライン】生成される部分空間の基底 と次元, 解空間の基底と次 元についての演習. 準備学習等 5.3 節.
第5回 【対面】5.1〜5.3 節の総合演習. 準備学習等 5.1〜5.3 節.
第6回 【非同期オンライン】部分空間の和と共通部分. 演習. 準備学習等 5.4, 5.5 節.
第7回 【対面】部分空間の和と共通部分についての演習. 準備学習等 5.4, 5.5 節.
第8回 【非同期オンライン】1次写像の定義と演習. 1次写像の像 (image)・核 (kernel) の定義と演習. 準備学習等 6.1, 6.2 節.
第9回 【対面】1次写像およびその像, 核 の定義についての演習. 準備学習等 6.1, 6.2 節.
第10回 【非同期オンライン】1次写像の像・核の次元と基底の計算方法. 演習. 準備学習等 6.2 節.
第11回 【対面】1次写像の像・核の次元と 基底の計算についての演習. 準備学習等 6.2 節.
第12回 【非同期オンライン】抽象ベクトル空間の座標と1次写像の表現行列. 演習. 準備学習等 6.3 節.
第13回 【対面】座標と表現行列についての演習. 準備学習等 6.3 節.
第14回 【非同期オンライン】基底の変換行列. 演習. 準備学習等 6.3 節.
第15回 【対面】基底の変換行列の演習. 準備学習等 6.3 節.
第16回 【対面】ベクトル空間の内積と直交性の定義. 演習. 準備学習等 7.1〜7.4 節.
第17回 【非同期オンライン】正規直交基底, 直交補空間, 正射影. 演習. 準備学習等 7.3, 7.4 節.
第18回 【対面】正規直交基底, 直交補空間についての演習. 準備学習等 7.3, 7.4 節.
第19回 【非同期オンライン】グラム・シュミットの直交化法. 演習. 準備学習等 7.3 節.
第20回 【対面】グラム・シュミットの直交化法の演習. 準備学習等 7.3 節.
第21回 【非同期オンライン】行列の固有値と固有ベクトル, 固有空間. 対角化の役割と重要性. 演習. 準備学習等 8.1〜8.3 節 (固有空間の定義まで), 8.5 節
第22回 【対面】行列の固有値と固有ベクトル, 固有空間についての演習. 準備学習等 8.1〜8.3 節 (固有空間の定義まで)
第23回 【非同期オンライン】対角化可能性判定と対角化. 演習. 準備学習等 8.3 節 (残り), 8.4 節
第24回 【対面】対角化可能性判定と対角化についての演習. 準備学習等 8.3 節 (残り), 8.4 節
第25回 【非同期オンライン】対角化可能性判定と対角化についての演習. 準備学習等 8.3 節 (残り), 8.4 節
第26回 【非同期オンライン】対角化の応用とその演習. 準備学習等 8.5 節
第27回 【対面】実対称行列の対角化. 準備学習等 8.6 節
第28回 【非同期オンライン】実対称行列の対角化につい ての演習. 準備学習等 8.6 節
第29回 【対面】後期全体の総合演習. 認定テスト 準備学習等 第2部全体
第30回 【非同期オンライン】後期全体の総合演習. 準備学習等 第2部全体
第31回 【対面】期末試験 準備学習等

成績評価

※期末試験は対面で実施する予定です。但し、状況をみてオンラインで行う場合もあります。
最終成績がC以上となるためには, 授業にきちんと出席した上で(オンライン授業にあっては提示した小テストおよび課題に適時に取り組んだ上で),さらに,以下の基準を満たしていることが必要である.
【授業目標の項目1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15のうち11項目以上が達成できること. なお, 計算については, 数ベクトルについてできればよい. (ただし, 軽微のミスは許す. )】
この基準が満たされているかどうかは,演習(毎週実施)と認定テスト(2回実施)の結果で判断する.演習は授業進度に応じてその都度実施する.演習はほぼ毎週行うため事前告知はしない.毎回きちんとオンライン授業を受講して演習に取り組むこと.

最終成績の決定方法は以下の通り.

授業受講状況と演習(毎週実施)と認定テストの結果により,Cとなるための基準を満たしていると判断される者に対して,まず単位認定点として60点を付与する. 期末試験では,A+〜Cのいずれに段階にあるかを評価するための問題を出題し,その結果により,評点(60〜100)が決定される.
授業受講状況には問題がないが,認定テストまででCとなる基準を達成することができなかった場合,期末試験でCとなる基準を達成できているかどうかを判定する.この場合,期末試験で合格となった場合の評点は60点となる.
授業受講状況に問題がある場合,または,期末試験まででCとなる基準を達成することができなかった場合は,評価はDとなる.

備考(実務経験の活用を含む)

正当な理由による欠席・遅刻(忌引, 入院, 交通機関の遅延など)によって期末試験が受けられなかった場合は, 追試を行い, 定期試験分の成績として用いて成績評価を行う.