線形代数II<2組>(理学)

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
線形代数II<2組>(理学)
Linear Algebra II
A600080002 2 1 後期授業 理系基礎科目 FLMAT1908-J1 水3 オンライン(中百舌鳥キャンパス) 加藤 希理子

オフィスアワー

チャットによる問題共有とZoomによる質問受付をします。日時の設定は、受講者と相談して決めます。(授業支援システムにアンケート設置予定)

授業目標

ベクトル空間についての様々な概念(1次独立, 基底, 次元, 1次写像, 1次写像の階数, 1次写像の核, 1次写像の表現行列)や, 抽象ベクトル空間における内積と正規直交基底, 直交補空間, 行列の固有値・固有空間・対角化などの概念を習得する。1次独立性の判定, ベクトル空間(1次写像の像・核含む)の基底・次元の計算, 1次写像の表現行列, グラム・シュミットの直交化法による正規直交基底の構成, 行列の固有値・固有空間の計算および対角化などの計算方法の習得と, 計算方法の背後にある数学的原理や理論を理解することを目標とする。
具体的には、以下の能力を身につけることを目標とする。
1. 1次独立・1次従属の概念を理解し,具体的なベクトルの組について1次独立性を判定できる。
2. 基底と次元の定義を理解し,基本的なベクトル空間について基底の例を挙げ,次元を答えることができる。
3. ベクトル空間の部分空間の概念について理解し、具体的に与えられたベクトル空間の部分集合が部分空間になっているかどうか判定できる。
4. 有限個のベクトルで生成される部分空間の基底の求め方を理解し,有限個のベクトルで生成される部分空間の基底と次元を求められる。
5. 斉次連立1次方程式の解空間の基底の求め方を理解し,斉次連立1次方程式の解空間の基底と次元を求められる。
6. 1次写像の像・核の定義とその基底の求め方を理解し,具体的に与えられた1次写像の像や核の基底と次元を求められる。
7. 基底に関する座標の概念を理解し,具体的なベクトルについて,与えられた基底に関する座標を求めることができる。
8. 表現行列の概念を理解し,与えられた基底に関して,1次写像の表現行列を求めることができる。
9. 内積の定義と基本的性質を理解し,内積を含んだ計算を行うことができる。
10. グラム・シュミットの直交化法の手続きと仕組みを理解し,与えられたベクトルの組に対してグラム・シュミットの直交化法を適用し,正規直交系をつくることができる。
11. 直交補空間の定義を理解し,与えられた部分空間の直交補空間を求めることができる。
12. 正射影の定義を理解し,与えられたベクトルの部分空間への正射影を求めることができる。
13. 固有値の概念を理解し,与えられた行列の固有多項式を計算して固有値を求めることができる。
14. 固有空間の概念を理解し,与えられた行列の固有値に対し,固有空間の基底と次元を求めることができる。
15. 対角化の概念を理解し,与えられた行列の対角化可能性を判定でき,対角化を実行できる。
16. 直交行列による対角化の概念を理解し,実対称行列の直交行列による対角化を実行できる。

教科書

石井・川添・高橋・山口著「理工系新課程 線形代数---基礎から応用まで[改訂版]」(培風館) ISBN: 978-4-563-00392-0
川添・山口・吉冨著「理工系新課程 線形代数演習」(培風館) ISBN: 978-4-563-00393-7

参考書

村上正康・佐藤恒雄・野澤宗平・稲葉尚志(著)「教養の線形代数」培風館ISBN: 978-4-563-00376-0

授業時間外の学習(準備学習等について)

本年度はオンライン開講です。宿題を教材として進めます。授業支援システムで教材を配布しますので、以下のサイクルで勉学を進めてください。
宿題→解説動画→理解度チェックテスト→宿題再挑戦。
宿題に解答すると解説動画が見られるようにします。

基本的にはオンデマンドで受講できます。期間中数回、オンライン小テストをリアルタイムで行います。日時については、受講者と相談して決めます。

1週間あたり、受講時間を含めて最低7時間の学習が必要です。

宿題は、「今までに習った知識で必ず解けるもの」を出題しています。解らないのは知識が足りないのではなく、それまでの授業内容に関する理解が不十分なのです。ノート・配布教材(主に宿題)・教科書の既習範囲を良く見直して、真面目に取り組んでください。未修の内容を必要とするものは出ませんので、教科書を先取りする必要はありません。

授業の概要

本年度は、オンライン開講です。学習方法については、「準備学習について」をご覧ください。

ベクトル空間における、ベクトルの1次独立性、基底、次元、1次写像とその表現行列、計量ベクトル空間の正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法について講義する。さらに、行列の固有値・固有ベクトル・対角化の概念と対角化可能判定法および対角化の手順について講義する。

授業計画

第1回 全体のイントロ. 部分空間とリニア・スパン 準備学習等 宿題
第2回 一次独立、一次従属 準備学習等 宿題
第3回 基底の定義 準備学習等 宿題
第4回 基底と次元 準備学習等 宿題
第5回 行列で定まる部分空間 準備学習等 宿題
第6回 次元定理、正則行列の定める部分空間 準備学習等 宿題
第7回 行列の階数と部分空間の次元、和空間と交叉空間 準備学習等 宿題
第8回 線型同型写像と線型写像 準備学習等 宿題
第9回 線型写像の表現行列 準備学習等 宿題
第10回 固有値と固有ベクトル 準備学習等 宿題
第11回 対角化可能、(参考)ジョルダン標準形 準備学習等 宿題
第12回 内積の定義 準備学習等 宿題
第13回 計量同型写像とユニタリ行列 準備学習等 宿題
第14回 随伴行列、直行補空間 準備学習等 宿題
第15回 ユニタリ行列による対角化 準備学習等 宿題
第16回 試験 準備学習等

成績評価

成績は、定期試験および小テストで評価する。宿題および小テストの不提出・不受験については、合計回数4回以上の場合、(不提出・不受験回数-3)×2点を評価点から減点する。

C(合格)となるためには、授業目標の項目1、2、5、9、13、14、15のうち6項目以上について、数ベクトルに関する計算方法を正しく理解し、実行できることが必要である。(ただし、軽微のミスは許す。)
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