解析学基礎I<2組>(理学)

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
解析学基礎I<2組>(理学)
Calculus I
A600050002 2 1 前期授業 理系基礎科目 FLMAT1905-J1 金3 B3-118 松永 秀章

オフィスアワー

専門基礎・数学では, 講義内容に関する相談・質問は「質問受付室」(B3棟2階216)で受け付けます. 各時間帯の担当教員や質問受付室の地図についての詳しい情報は, 高等教育推進機構ホームページの数学質問受付室のページを見てください. (高等教育推進機構のトップぺージより質問受付室のバナーをクリックして下さい。)

授業目標

1変数の微分積分学について高等学校で学んだ事柄を発展させ,大学で学ぶ専門分野で必要な基礎学力を修得する. 数列や関数の極限の概念や計算に習熟し, 基本的な初等関数の微分や積分の計算を自在に行えるようになって, それらを様々な問題に応用できる能力を身につけることを目指す. 具体的には, 以下の能力を身につけることを目標とする.
1. 基本的な数列の極限や級数の和を求めることができる.
2. 実数の連続性を用いて, 漸化式で定義された数列の極限を求めることができる.
3. 微分の定義を理解し, 与えられた関数の微分可能性が判定できる.
4. 逆三角関数を含む初等関数の導関数が求められる.
5. 基本的な関数の高次導関数が求められる.
6. テイラーの定理を用いて与えられた関数を近似する多項式を求めることができる.
7. テイラーの定理を用いて与えられた関数の値の近似値をを求めることができる.
8. ロピタルの定理を理解した上で, 適切な方法で関数の極限を求めることができる.
9. 基本的な関数のマクローリン展開を求めることができる.
10. 置換積分法, 部分積分法を用いて基本的な関数の積分が求められる.
11. 区分求積法を理解して, 積分の形に書き直すことができる数列の極限を求めることができる.
12. 部分分数分解を用いて有理関数の積分を求めることができる.
13. 三角関数の簡単な有理式で与えられる関数の積分を求めることができる.
14. 基本的な関数の広義積分を求めることができる.
15. 簡単な図形の面積を求めることができる.
16. 曲線の長さを求めることができる.

教科書

「理工系新課程-微分積分 基礎から応用まで (改訂版)」培風館  数見・松本・吉富著
ISBN978-4-563-00394-4

「理工系新課程 微分積分演習 --解法のポイントと例題解説--」
培風館 (山口睦,吉冨賢太郎)著 ISBN 978-4-563-00395-1

授業時間外の学習(準備学習等について)

準備として,教科書をよく読み例題などを自分で考えてみる.理解できなかった部分を書き出しておき,対応する授業時間に質問すること.また,復習としてもう一度教科書をよく読み,教科書の演習問題を自分で解いてみること.

授業の概要

実数の基本性質について考察し、初等関数についての極限や導関数の計算法と種々の平均値の定理やテーラーの定理を学び、不定形の極限や関数の整級数展開などへ応用する。定積分の定義と微積分の基本定理を学んで、基本的な初等関数の積分の計算法を紹介した後、広義積分や曲線の長さや図形の面積などの求積へ応用する.

授業計画

第1回 ・まず講義全般にわたるイントロを行う.
・基本的な記号・用語を解説した後に数の基本性質に触れ, 数列の極限について学ぶ.
準備学習等 教科書p3~p8 の範囲の予習.
第2回 ・数列の極限の概念を用いて「実数の連続性」と呼ばれる, 実数の集合に特有な性質について学ぶ.
・級数の収束と発散の定義を行い, 簡単な級数の和を求める方法を学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p9~p13 の範囲の予習.
第3回 ・関数についての基本的な概念について学び,高校でも既出の初等関数の基本性質について復習する.
・初等関数のなかでも高校で扱わなかった「逆三角関数」,「双曲線関数」について学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p14~p21 の範囲の予習.
第4回 ・関数の極限とその基本性質について学ぶ.
・関数の連続性の定義と基本的な性質について学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p22~p27,p31~p32 の範囲の予習.
第5回 ・関数の微分可能性と微分係数について学ぶ.
・関数の導関数, 合成関数や逆関数の導関数の公式などについて学ぶ.また,初等関数の導関数の計算方法を学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p34~p41 の範囲の予習.
第6回 ・高階導関数について,学ぶ.さらに,「ライプニッツの公式」について学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p42~p44 の範囲の予習.
第7回 ・「平均値の定理」について学ぶ.
・「テイラーの定理」について学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p49~p56 の範囲の予習.
第8回 ・不定形の極限,「ロピタルの定理」について学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p57~p60 の範囲の予習.
第9回 ・テイラーの定理を用いて, 指数関数, 対数関数や三角関数など多くの
関数が整級数の形に表されることを学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p62~p65 の範囲の予習.
第10回 ・リーマン積分を定義とその基本性質について学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p75~p81 の範囲の予習.
第11回 ・ 不定積分と「微分積分学の基本定理」について学ぶ.
・置換積分法や部分積分法について学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p82~p88 の範囲の予習.
第12回 ・漸化式による積分の計算法を学ぶ.
・有理関数の積分の計算法について学ぶ.
準備学習等 前回までの復習.教科書p89~p94 の範囲の予習.
第13回 ・三角関数や無理関数を含む関数の積分の計算法について学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p95~p104 の範囲の予習.
第14回 ・「広義積分」について学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p109~p117 の範囲の予習.
第15回 ・積分の応用として曲線で囲まれた図形の面積や曲線の長さの計算法を学ぶ. 準備学習等 前回までの復習.教科書p128~p137 の範囲の予習.
第16回 ・期末試験 準備学習等

成績評価

期末試験8割、講義中に課す課題・レポート2割
C(合格)となるためには, 授業目標の項目のうち, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15のうちの6項目以上について, 計算方法を正しく理解し, 実行できることが必要である. (ただし, 軽微なミスは許す.)