複素解析(物質)

科目名
Course Title
授業コード 単位数 配当年次 開講期間
Term
科目分類 ナンバリング
コード
曜日
コマ
教室 担当教員氏名
Instructor
複素解析(物質)
Complex Analysis
A600140003 2 2 前期授業 理系基礎科目 FLMAT2914-J1 木1 A5-123 松永 秀章

授業目標

1. 複素数の計算ができ、その複素平面における意味を理解する。
2. コーシーの積分定理、コーシーの積分公式を理解し、活用できる。
3. テイラー展開、ローラン展開ができる。
4. 留数が計算でき、留数定理が利用できる。
5. 複素積分を実積分の計算に応用できる。

教科書

「複素解析入門 第2版」 原惟行・松永秀章 著(共立出版)
ISBN 978-4-320-11090-8

授業時間外の学習(準備学習等について)

授業時間だけの学習では、この授業の内容を理解し、その内容を定着させることはできません。授業中の課題はもちろんのこと、なるべく早めに復習を行って下さい。例題が豊富な教科書を採用していますので、例題を読んで問を解いていけば、自然に定理の内容も理解でき、自学自習できるようにもなっています。ただし、定期試験前に慌てて勉強しようとしても、内容が多すぎて「手遅れ」になることがほとんどですので、普段からの学習を心がけて下さい。

授業の概要

複素解析の初歩(複素変数の関数の微積分)について述べる。複素微分、複素積分、級数展開などを1実変数および2実変数の実数値関数の微積分を復習・再確認しながら理解させ、複素関数においては重要なことがほとんどコーシーの積分定理・コーシーの積分公式から展開されることを講義する。さらに実積分の計算へ留数を応用する方法について解説する。

授業計画

第1回 複素数、複素平面、極形式:
複素数の計算方法と複素数を複素平面上の点として表す考え方を学ぶ。
準備学習等 教科書pp.1-7の予習
第2回 ド・モアブルの定理、複素数列:
複素数列の収束については実数列の収束に完全に帰着できる。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.8-16の予習
第3回 複素関数:
複素関数を理解しやすくするために、複素関数による写像を幾何学的に考察する。また、関数の極限、連続性について学習する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.17-25の予習
第4回 複素微分、正則関数:
複素関数の微分について述べ、複素関数で最も重要な正則関数を定義する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.26-37の予習
第5回 複素初等関数:
指数関数、三角関数のなどの実数値関数として既知の初等関数を複素関数に拡張する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.38-47の予習
第6回 複素積分:
初等関数の性質を述べる。また、複素関数の複素平面上の曲線に沿った積分を定義する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.52-60の予習
第7回 コーシーの積分定理:
実関数のグリーンの定理により、コーシーの積分定理が証明できる。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.61-67の予習
第8回 正則関数の積分表示:
コーシーの積分公式により、正則関数のほとんどの基本的性質が導ける。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.68-71の予習
第9回 関数項級数、テイラー展開:
コーシーの積分公式を用いて、正則関数がテイラー展開できることを示す。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.76-84の予習
第10回 ローラン展開、孤立特異点:
複素関数の特異点の近傍でのローラン展開および孤立特異点の種類について述べる。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.90-96の予習
第11回 極、留数:
複素関数の留数の定義とその求め方を学習する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.97-105の予習
第12回 留数定理:
積分の値を求める際に有益な留数定理を紹介する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.106-110の予習
第13回 実積分の計算1:
留数定理は特に実関数の定積分に応用するときに威力を発揮する。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.111-115の予習
第14回 実積分の計算2:
不定積分が求めにくいような被積分関数に対しても複素積分と留数定理を用いて比較的簡単に積分値が求まることを学ぶ。
準備学習等 前回の復習と教科書pp.116-120の予習
第15回 全体のまとめ:
これまでの学習の総まとめを行う。
準備学習等
第16回 期末試験を行う。 準備学習等

成績評価

授業目標の1~5の達成度で総合的に評価する。
1~4の基本的な問題ができれば,C(合格)とする。ただし,軽微な計算ミスを除く。
成績評価は,期末試験80%,小テスト・演習・レポート20%で行う。